Question

5．已知二次函数f（x），若对于任意的x∈R，都有f（-$\frac{1}{2}$-x）=f（-$\frac{1}{2}$+x），且f（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{9}{4}$，f（0）=-2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若方程f（cosθ）=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）+msinθ有实数解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数的对称性和定点坐标，设f（x）=a（x+$\frac{1}{2}$）2-$\frac{9}{4}$，a≠0，代值计算即可，
（2）方程f（cosθ）=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）+msinθ有实根，等价于方程sin²θ+（m+1）sinθ+1=0有实根，设t=sinθ∈[-1，0）∪（0，1]，令g（t）=-t-$\frac{1}{t}$，t∈[-1，0）∪（0，1]，则m+1应属于g（t）的值域，解得即可．

解答 解：（1）∵对于任意的x∈R，都有f（-$\frac{1}{2}$-x）=f（-$\frac{1}{2}$+x），
∴二次函数的对称轴为x=-$\frac{1}{2}$，
∵且f（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{9}{4}$，
∴函数f（x）的顶点坐标为（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{9}{4}$），
设f（x）=a（x+$\frac{1}{2}$）2-$\frac{9}{4}$，a≠0，
由f（0）=-2解得a=1，
∴f（x）=（x+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9}{4}$，即f（x）=x²+x-2
（2）方程f（cosθ）=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）+msinθ有实根，
等价于方程sin²θ+（m+1）sinθ+1=0有实根．
∵sinθ=0时，无解，
∴sinθ≠0，等价于方程m+1=-sinθ-$\frac{1}{sinθ}$有实根，
设t=sinθ∈[-1，0）∪（0，1]，
令g（t）=-t-$\frac{1}{t}$，t∈[-1，0）∪（0，1]，
则m+1应属于g（t）的值域．
又g（t）∈（-∞，-2]∪[2，+∞），
∴（m+1）∈（-∞，-2]∪[2，+∞），
∴m∈（-∞，-3]∪[1，+∞）

点评 本题考查了二次函数的解析式的求法和三角函数的性质，属于中档题．