Question

7．已知圆x²+y²=4上任意一点P在x轴上的射影为H，点F满足条件$\overrightarrow{OH}$+$\overrightarrow{OP}$=2$\overrightarrow{OF}$，O为坐标原点．
（1）求点F的轨迹C的方程；
（2）若直线l：y=kx+m与曲线C交于不同两点A，B，点N时线段AB中点，设射线ON交曲线C于点Q，且$\overrightarrow{OQ}$=$\sqrt{2}$$\overrightarrow{ON}$，求m和k满足的关系式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用代入法求椭圆方程；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由直线代入椭圆方程，消去y，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件能证明结论．

解答 解：（Ⅰ）设点F（x，y），点P（x'，y'），因为点P在x轴上的射影为H，所以H（x'，0）．
又因为$\overrightarrow{OH}+\overrightarrow{OP}=2\overrightarrow{OF}$，所以点F是线段PH的中点，
即有$\left\{\begin{array}{l}x=x'\\ y=\frac{y'}{2}\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}x'=x\\ y'=2y\end{array}\right.$…（3分）
因为点P是圆x²+y²=4上任意一点，所以（x'）²+（y'）²=4，
所以${（x）^2}+{（{2y}）^2}=4⇒\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
所以点F的轨迹C的方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$…（5分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立解方程组：$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.⇒（{1+4{k^2}}）{x^2}+8kmx+4{m^2}-4=0$，…（7分）
∴$\left\{\begin{array}{l}△={（{8km}）^2}-4（{1+4{k^2}}）（{4{m^2}-4}）＞0\\{x_1}+{x_2}=\frac{-8km}{{1+4{k^2}}}\\{x_1}{x_2}=\frac{{4{m^2}-4}}{{1+4{k^2}}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{m^2}＜1+4{k^2}\\{x_1}+{x_2}=\frac{-8km}{{1+4{k^2}}}\\{x_1}{x_2}=\frac{{4{m^2}-4}}{{1+4{k^2}}}\end{array}\right.$，…（9分）
∴${y_1}+{y_2}=k（{x_1}+{x_2}）+2m=\frac{2m}{{1+4{k^2}}}$．
又点N是线段AB中点，由中点坐标公式，得$N（\frac{-4km}{{1+4{k^2}}}，\frac{m}{{1+4{k^2}}}）$，…（10分）
又$\overrightarrow{OQ}=\sqrt{2}\overrightarrow{ON}$，得$Q（\frac{{-4\sqrt{2}km}}{{1+4{k^2}}}，\frac{{\sqrt{2}m}}{{1+4{k^2}}}）$，…（11分）
将$Q（\frac{{-4\sqrt{2}km}}{{1+4{k^2}}}，\frac{{\sqrt{2}m}}{{1+4{k^2}}}）$代入椭圆方程$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，
得$\frac{{8{k^2}{m^2}}}{{{{（{1+4{k^2}}）}^2}}}+\frac{{2{m^2}}}{{{{（{1+4{k^2}}）}^2}}}=1$，化简得2m²=16k⁴+8k²+1-8k²m²…（13分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查方程的证明，考查三角形面积的求法，解题时要认真审题，注意弦长公式的合理运用．