Question

19．设函数$f（x）=sin2x+\sqrt{3}cos2x$
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）当x∈[0，$\frac{π}{6}$]时，求函数f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）使用辅助角公式化简f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），代入周期公式得到f（x）的周期；
（2）根据x的范围求得2x+$\frac{π}{3}$的范围，结合正弦函数的性质得出f（x）的最值．

解答 解：（1）f（x）=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{6}$]，∴2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，∴当2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$时，f（x）取得最大值2，2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{3}$时，f（x）取得最小值$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，正弦函数的图象性质，属于基础题．