Question

18．已知数列{a_n}的前n项和S_n=2a_n-3．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{{na}_{n}}{{2}^{n}}$，求数列{b_n}的前n项的和．

Answer 1

分析 （1）利用“当n=1时，a₁=S₁；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”即可得出．
（2）求出b_n=$\frac{{na}_{n}}{{2}^{n}}$的表达式，结合等差数列的前n项和公式进行求解即可．

解答 解：（1）当n=1时，a₁=S₁=2a₁-3，解得a₁=3．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-3-（2a_n-1-3）=2a_n-2a_n-1，
即a_n=2a_n-1．
∴数列{a_n}是首项为3，公比为2的等比数列．
则a_n=3•2^n-1．
（2）b_n=$\frac{{na}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{n•3•{2}^{n-1}}{{2}^{n}}$=$\frac{3n}{2}$，则数列{b_n}是公差d=$\frac{3}{2}$的等差数列，
则数列{b_n}的前n项的和T_n=$\frac{（\frac{3}{2}+\frac{3n}{2}）•n}{2}$=$\frac{3}{4}（n+1）n$．

点评 本题主要考查数列通项公式的求解以及数列前n项和的计算，考查学生的运算和推理能力．