Question

7．求证：f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x在R上单调递减．

Answer 1

分析 根据单调性的定义，证明函数f（x）在R上是单调递减函数即可．

解答 证明：任取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂；
则f（x₁）-f（x₂）=（$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+1}$-x₁）-（$\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+1}$-x₂）
=（$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+1}$-$\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+1}$）+（x₂-x₁）
=$\frac{{{（x}_{1}}^{2}+1）-{{（x}_{2}}^{2}-1）}{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+1}+\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+1}}$+（x₂-x₁）
=$\frac{{（x}_{1}{+x}_{2}）{（x}_{1}{-x}_{2}）}{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+1}+\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+1}}$+（x₂-x₁）
=（x₂-x₁）（1-$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+1}+\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+1}}$）；
∵x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，
又x₁+x₂≤|x₁|+|x₂|＜$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+1}$+$\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+1}$，
∴$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+1}+\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+1}}$＜1，
∴1-$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+1}+\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+1}}$＞0；
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在R上是减函数．

点评 本题考查了利用单调性的定义证明函数单调性问题，其基本步骤是取值、作差，判正负，下结论．