Question

16．若点A和点B分别是函数f（x）和g（x）的图象上任意一点，定义两点间的距离|AB|的最小值为两函数的“亲密度”，则函数f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{e^x}，-2≤x＜-1}\\{e•f（{x-1}），x≥-1}\end{array}}$与g（x）=lnx的“亲密度”为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 函数y=e^x和函数y=lnx互为反函数，关于直线y=x对称．设直线y=x+t与y=e^x相切于点P（a，b），利用导数的几何意义求出切点P，利用点到直线的距离公式即可得出．

解答 解：由题意，-1≤x＜0，-2≤x-1＜-1，f（x）=ef（x-1）=e^x，
0≤x＜1，-1≤x-1＜0，f（x）=ef（x-1）=e^x，
…
∴x≥-2时，f（x）=e^x．
函数y=e^x和函数y=lnx互为反函数，关于直线y=x对称．由图象可知：当f（x）在点A处的切线和g（x）在点B处的切线都与y=x平行时，|AB|最小．设A（x₁，y₁），B（x2，y2），则y₁=${e}^{{x}_{1}}$，y₂=lnx₂，f′（x）=e^x，k1=${e}^{{x}_{1}}$=1，可得x₁=0，A（0，1）；g′（x）=$\frac{1}{x}$，k₂=$\frac{1}{{x}_{2}}$=1，则x₂=1，B（1，0）
设直线y=x+t与y=lnx相切于点P（a，b），|AB|_min=$\sqrt{2}$
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了反函数的性质、导数的几何意义、切线方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．