Question

14．已知正项数列{a_n}满足a_nⁿ+na_n-1=0（n∈N^*）．
（1）求a₁，a₂；
（2）判断函数f（x）=xⁿ+nx-1，x＞0的单调性；
（3）求证：0＜a_n＜1．

Answer 1

分析 （1）分别令n=1、n=2代入所给的式子，解相应的方程即可；
（2）求出f（x）的导数，判断符号，即可得到单调性；
（3）由函数f（x）=xⁿ+nx-1，得到a_n为函数的零点，由函数零点存在的判断方法，得到a_n所在的区间，即可得证．

解答 解：（1）∵a_nⁿ+na_n-1=0（n∈N^*），
令n=1得，a₁+a₁-1=0，解得a₁=$\frac{1}{2}$，
令n=2得，a22+2a2-1=0，解得a₂=-1±$\sqrt{2}$，
∵a_n＞0，∴a₂=$\sqrt{2}$-1；
（2）f（x）=xⁿ+nx-1（x＞0），
导数f′（x）=nx^n-1+n＞0，
即有函数f（x）在（0，+∞）上递增；
（3）证明：∵a_nⁿ+na_n-1=0，
∴a_n是方程xⁿ+nx-1=0的一个根，
设f（x）=xⁿ+nx-1，
则f（0）=-1＜0，f（1）=n＞0，
∴函数f（x）在（0，1）上至少有一个实数根，
∵函数f（x）在（0，+∞）上递增，
则f（x）=0有且仅有一个实数根，
且在（0，1）上，
∴a_n∈（0，1），即0＜a_n＜1．

点评 本题是数列与函数、不等式相结合的综合题，主要考查了函数的零点与方程根的转化问题，考查了分析问题与解决问题的能力，属于中档题．