Question

19．下列关于函数f（x）=（x²-2x）e^x的判断正确的是（　　）
①f（x）＜0的解集是{x|0＜x＜2} ②f（-$\sqrt{2}$）是极小值，f（$\sqrt{2}$）是极大值
③f（x）没有最大值      ④f（x）有最大值．

• A． ②④
• B． ①③
• C． ①④
• D． ①②③

Answer 1

分析 令f（x）＜0可解x的范围确定①正确；对函数f（x）进行求导，然后令f'（x）=0求出x，根据f'（x）的正负判断原函数的单调性进而可确定②不正确；根据函数的单调性可判断③正确④不正确，从而得到答案．

解答 解：由f（x）＜0⇒（x²-2x）e^x＜0⇒x²-2x＜0⇒0＜x＜2，故①正确；
f′（x）=e^x（x²-2），由f′（x）=0得x=±$\sqrt{2}$，
由f′（x）＞0得x＞$\sqrt{2}$或x＜-$\sqrt{2}$，
由f′（x）＜0得-$\sqrt{2}$＜x＜$\sqrt{2}$，
∴f（x）的单调增区间为（-∞，-$\sqrt{2}$），（$\sqrt{2}$，+∞）．单调减区间为（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．
∴f（x）的极小值为f（$\sqrt{2}$），极大值为f（-$\sqrt{2}$），故②不正确．
∵x＞2时，f（x）＞0恒成立．
∴f（x）没有最大值，∴③正确，④不正确．
故选：B．

点评 本题主要考查函数的极值与其导函数关系，即函数取到极值时导函数一定等于0，但导函数等于0时还要判断原函数的单调性才能确定原函数的极值点．