Question

10．已知数列{a_n}满足下列条件，求其数列的通项公式a_n．
（1）a₁=0，a_n+1=a_n+（2n-1）；
（2）a₁=1，a_n+1=2S_n；
（3）a₁=5，a_n=2a_n-1+3（n≥2）；
（4）S_n=3+2ⁿ；
（5）a₁=1，na_n+1-（n+1）a_n=0．

Answer 1

分析 （1）通过对a_n+1=a_n+（2n-1）变形可知a_n+1-a_n=2n-1，进而利用累加法计算可得结论；
（2）通过a_n+1=2S_n与a_n=2S_n-1作差、整理可知a_n+1=3a_n，进而可得结论；
（3）通过对a_n=2a_n-1+3（n≥2）变形可知a_n+3=2（a_n-1+3）（n≥2），进而可知数列{a_n+3}是以8为首项、2为公比的等比数列，计算即得结论；
（4）通过S_n=3+2ⁿ与S_n-1=3+2^n-1作差可知a_n=2^n-1，进而计算可得结论；
（5）通过对na_n+1-（n+1）a_n=0变形可知$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{n}$，进而利用累乘法计算即得结论．

解答 解：（1）∵a_n+1=a_n+（2n-1），
∴a_n+1-a_n=2n-1，
∴a_n-a_n-1=2n-3，a_n-1-a_n-2=2n-5，…，a₂-a₁=1，
累加得：a_n-a₁=n-1+2•$\frac{（n-2）（n-1）}{2}$=（n-1）²（n≥2），
又∵a₁=0，
∴a_n=（n-1）²；
（2）∵a_n+1=2S_n，
∴当n≥2时，a_n=2S_n-1，
两式相减得：a_n+1-a_n=2a_n，即a_n+1=3a_n，
又∵a₁=1，
∴a₂=2a₁=2不满足上式，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，}&{n=1}\\{2•{3}^{n-1}，}&{n≥2}\end{array}\right.$；
（3）∵a_n=2a_n-1+3（n≥2），
∴a_n+3=2（a_n-1+3）（n≥2），
又∵a₁+3=8，
∴数列{a_n+3}是以8为首项、2为公比的等比数列，
∴a_n+3=8•2^n-1=2ⁿ⁺²，
∴a_n=-3+2ⁿ⁺²；
（4）∵S_n=3+2ⁿ，
∴当n≥2时，S_n-1=3+2^n-1，
∴a_n=（3+2ⁿ）-（3+2^n-1）=2^n-1，
又∵a₁=3+2=5，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{5，}&{n=1}\\{{2}^{n-1}，}&{n≥2}\end{array}\right.$；
（5）∵na_n+1-（n+1）a_n=0，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{n}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n}{n-1}$，$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}=\frac{n-1}{n-2}$，…，$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=\frac{2}{1}$，
累乘得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=n，
又∵a₁=1，
∴a_n=n．

点评 本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．