Question

15．已知f（x）是实数集R上的函数，且对任意x∈R，f（x+1）=f（x+2）+f（x）恒成立．
（1）求证：f（x）是周期函数；
（2）已知f（3）+2=0，求f（2010）的值．

Answer 1

分析 （1）根据对任意x∈R，f（x+1）=f（x+2）+f（x）恒成立，以及递推关系可得f（x+3）=-f（x），将x+3代入可得f（x+6）=f（x），最后根据周期函数的定义可知f（x）的周期，从而证得结论；
（2）根据f（x）是周期函数且6是它的一个周期，将f（2010）转化成f（0），而f（0）与f（3）互为相反数，即可求出所求．

解答 （1）证明：由f（x+1）=f（x+2）+f（x），得f（x+2）=f（x+3）+f（x+1）
∴f（x+3）+f（x）=0，f（x+3）=-f（x）
因此f（x+6）=-f（x+3）=f（x）．
∴f（x）是周期函数，且6是它的一个周期．
（2）∵f（x+3）=-f（x）且f（3）=-2，∴f（0）=-f（3）=2．
又f（2 010）=f（335×6）=f（0），∴f（2 010）=2．

点评 本题主要考查了抽象函数的周期性，以及求函数值等有关知识，同时考查了转化与化归的思想，属于中档题．