Question

4、在R上定义的函数f（x）是偶函数，且f（1+x）=f（1-x），若f（x）在区间[1，2]是减函数，则函数f（x）在区间[3，4]上是单调

减

函数．

Answer 1

分析：因为函数在实数范围内是偶函数，所以f（-x）=f（x），取当x₁＜x₂且x₁，x₂∈[1，2]f（x）在区间[1，2]是减函数得到得到得f（x₁）＞f（x₂）；再取自变量x₃＜x₄，由已知f（1+x）=f（1-x），利用做差法判断f（x₃）和f（x₄）大小即可得到增减性．

解答：解：由f（x）在区间[1，2]是减函数得当x₁＜x₂且x₁，x₂∈[1，2]得到f（x₁）＞f（x₂）；
又因为f（x）是偶函数，则f（-x）=f（x）且f（1+x）=f（1-x），
则在[3，4]取两个自变量x₃＜x₄，则f（x₃）-f（x₄）=f（x₃-2）-f（x₄-2）＞0
函数f（x）在区间[3，4]上是单调减函数．
故答案为减．

点评：考查函数利用函数奇偶性的能力，以及对函数单调性的判断与证明的掌握能力．