Question

11．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=$\frac{π}{3}$，PD⊥平面ABCD，PD=AD=3，PM=2MD，AN=2NB，E是AB中点．
（1）求证：直线AM∥平面PNC；
（2）求证：直线CD⊥平面PDE；
（3）求三棱锥C-PDA体积．

Answer 1

分析 （1）在PC上取一点F，使PF=2FC，连接MF，NF，通过证明四边形MFNA为平行四边形，得AM∥NA，于是AM∥平面PNC；
（2）由菱形性质可得CD⊥DE，由PD⊥平面ABCD可得PD⊥CD，故而CD⊥平面PDE；
（3）利用公式V_C-PDA=V_P-ACD=$\frac{1}{3}{S}_{△ACD}•PD$计算．

解答 证明：（1）在PC上取一点F，使PF=2FC，连接MF，NF，
∵PM=2MD，AN=2NB，∴MF∥DC，MF=$\frac{2}{3}$CD，
又AN∥DC，AN=$\frac{2}{3}AB$=$\frac{2}{3}$CD．
∴MF∥AN，MF=AN，
∴MFNA为平行四边形，即AM∥NA．
又AM?平面PNC，FN?平面PNC，
∴直线AM∥平面PNC．
（2）∵E是AB中点，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，
∴∠AED=90°．
∵AB∥CD，∴∠EDC=90°，即CD⊥DE．
又PD⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴CD⊥PD．
又DE∩PD=D，PD?平面PDE，DE?平面PDE，
∴直线CD⊥平面PDE．
（3）V_C-PDA=V_P-ACD=$\frac{1}{3}{S}_{△ACD}•PD$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×3×3×\frac{\sqrt{3}}{2}×3$=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，

点评 本题考查了线面平行，线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于基础题．