Question

2．如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且经过点M（2，1）．平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），l交椭圆于A，B两个不同点
（1）求椭圆的方程；
（2）求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设出椭圆的方程，利用椭圆的离心率公式且经过点M（2，1），建立方程，求出a，b，即可求椭圆的方程；   
（2）由直线方程代入椭圆方程，利用根的判别式，即可求m的取值范围．

解答 解：（1）设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）
则e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=1，c²=a²-b²，
解得a²=8，b²=2，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m，
又K_OM=$\frac{1}{2}$，∴l的方程为：y=$\frac{1}{2}$x+m，
由直线方程代入椭圆方程x²+2mx+2m²-4=0，
∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，
∴△=（2m）²-4（2m²-4）＞0，
解得-2＜m＜2，且m≠0．

点评 本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．