Question

10．在正四面体ABCD中，M，N分别是BC和DA的中点，则异面直线MN和CD所成角为$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 取AC中点O，连结AM、DM、OM、ON，则∠MNO是异面直线MN和CD所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线MN和CD所成角．

解答 解：如图，取AC中点O，连结AM、DM、OM、ON，
设正四面体ABCD的棱长为2，
∵M，N分别是BC和DA的中点，
∴AM=DM=$\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$，MN=$\sqrt{3-1}=\sqrt{2}$，
MN$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}AB$=1，NO$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}DC$=1，
∴∠MNO是异面直线MN和CD所成角（或所成角的补角），
cos∠MNO=$\frac{M{N}^{2}+N{O}^{2}-O{M}^{2}}{2•MN•NO}$=$\frac{2+1-1}{2•\sqrt{2}•1}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠MNO=$\frac{π}{4}$．
∴异面直线MN和CD所成角为$\frac{π}{4}$．
故答案为：$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．