Question

5．在平面直角坐标系xoy中，直线${C_1}：\sqrt{3}x+y-4=0$，曲线${C_2}：\left\{\begin{array}{l}x=cosφ\\ y=1+sinφ\end{array}\right.（φ$为参数），以以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．
（I）求C₁，C₂的极坐标方程；
（II）若曲线C₃的极坐标方程为$θ=α（ρ＞0，0＜α＜\frac{π}{2}）$，且曲线C₃分别交C₁，C₂于点A，B两点，求$\frac{OB}{OA}$的最大值．

Answer 1

分析 （I）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出曲线C₁的极坐标方程；曲线C₂消去参数φ得曲线C₂的普通方程为x²+（y-1）²=1，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出C₂的极坐标方程．
（II）设A（ρ₁，α），B（ρ₂，α），${ρ_1}=\frac{4}{{\sqrt{3}cosα+sinα}}，{ρ_2}=2sinα$，则$\frac{{|{OB}|}}{{|{OA}|}}=\frac{ρ_2}{ρ_1}=\frac{1}{4}[{sin（2α-\frac{π}{6}）+1}]$，由此能求出$\frac{OB}{OA}$的最大值．

解答 解：（I）∵直线${C_1}：\sqrt{3}x+y-4=0$，x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴曲线C₁的极坐标方程为${\;}\sqrt{3}ρcosθ+ρsinθ-4=0$，
∵曲线C₂：$\left\{\begin{array}{l}x=cosφ\\ y=1+sinφ\end{array}\right.$，
∴消去参数φ得曲线C₂的普通方程为x²+（y-1）²=1，
∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C₂的极坐标方程为：（ρcosθ）²+（ρsinθ-1）²=1，
∴ρ²-2ρsinθ=0，∴C₂的极坐标方程为：ρ=2sinθ．
（II）曲线C₃为$θ=α（ρ＞0，0＜α＜\frac{π}{2}）$，
设A（ρ₁，α），B（ρ₂，α），${ρ_1}=\frac{4}{{\sqrt{3}cosα+sinα}}，{ρ_2}=2sinα$，
则$\frac{{|{OB}|}}{{|{OA}|}}=\frac{ρ_2}{ρ_1}=\frac{1}{4}×2sinα（\sqrt{3}cosα+sinα）=\frac{1}{4}[{sin（2α-\frac{π}{6}）+1}]$，
∴$α=\frac{π}{3}$，${|{\frac{OB}{OA}}|_{max}}=\frac{1}{2}$．

点评 本题考查直线和曲线的极坐标方程的求法，考查两线段比值的最大值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．