Question

15．已知函数f（x）=3^x的定义域为R，满足f（a+2）=18，函数g（x）=λ•3^ax-4^x的定义域为[0，1]．
（1）求实数a的值；
（2）若函数g（x）为定义域上单调减函数，求实数λ的取值范围；
（3）λ为何值时，函数g（x）的最大值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）根据f（a+2）=18计算a；
（2）设t=2^x，根据复合函数的单调性得出h（t）=λt-t²在[1，2]上单调递减，从而得出λ的范围；
（3）讨论对称轴与区间[1，2]的关系得出h（t）的单调性，根据最大值为$\frac{1}{2}$计算λ．

解答 解：（1）∵f（a+2）=3^a+2=18，∴3^a=2，即a=log₃2．
（2）由（1）可知g（x）=λ•3${\;}^{（lo{g}_{3}2）x}$-4^x=λ•2^x-4^x，
设2^x=t，t∈[1，2]，h（t）=λt-t²，
∵t=2^x是增函数，g（x）是减函数，
∴h（t）=λt-t²在[1，2]上是减函数，
∴$\frac{λ}{2}$≤1，即λ≤2．
（3）由（2）可知h（t）=-t²+λt，t∈[1，2]的最大值为$\frac{1}{2}$，
①若$\frac{λ}{2}$≥2即λ≥4，则h（t）在[1，2]上单调递增，
∴h（2）=-4+2λ=$\frac{1}{2}$，解得λ=$\frac{9}{4}$（舍）．
②若$\frac{λ}{2}$≤1即λ≤2时，则h（t）在[1，2]上单调递减，
∴h（1）=-1+λ=$\frac{1}{2}$，解得λ=$\frac{3}{2}$．
③若1＜$\frac{λ}{2}$＜2，即2＜λ＜4，则h（t）在[1，2]上先增后减，
∴h（$\frac{λ}{2}$）=-$\frac{{λ}^{2}}{4}$+$\frac{{λ}^{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$，解得λ=$±\sqrt{2}$（舍）．
综上，λ=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了函数的单调性判断与最值计算，属于中档题．