Question

20．设（1+x+x²）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…a_2nx²ⁿ．
（1）求a₀的值；
（2）求$\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{2^2}+\frac{a_3}{2^3}+…+\frac{{{a_{2n}}}}{{{2^{2n}}}}$的值；
（3）求a₁+a₃+…+a_2n-1的值．

Answer 1

分析 （1）赋值x=0，即可得出．
（2）赋值$x=\frac{1}{2}$，可得${a_0}+\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{2^2}+\frac{a_3}{2^3}+…+\frac{{{a_{2n}}}}{{{2^{2n}}}}={（\frac{7}{4}）^n}$，再利用（1）即可得出．
（3）分别赋值x=1，赋值x=-1，两式相减即可得出．

解答 解：（1）赋值x=0，所以a₀=1．
（2）赋值$x=\frac{1}{2}$，则${a_0}+\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{2^2}+\frac{a_3}{2^3}+…+\frac{{{a_{2n}}}}{{{2^{2n}}}}={（\frac{7}{4}）^n}$，
所以由（1）知$\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{2^2}+\frac{a_3}{2^3}+…+\frac{{{a_{2n}}}}{{{2^{2n}}}}={（\frac{7}{4}）^n}-1$．
（3）赋值x=1，则${a_0}+{a_1}+{a_2}+…+{a_{2n}}={3^n}$，①
赋值x=-1，a₀-a₁+a₂-…-a_2n-1+a_2n=1，②
两式相减得${a_1}+{a_3}+…+{a_{2n-1}}=\frac{{{3^n}-1}}{2}$．

点评 本题考查了二项式定理、取值法、方程思想，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．