Question

12．设数列{a_n}的前n项和为S_n．若S_n=2a_n-n，则$\frac{2}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{4}{a{{\;}_{2}a}_{3}}$+$\frac{8}{{a}_{3}{a}_{4}}$+$\frac{16}{{a}_{4}{a}_{5}}$=$\frac{30}{31}$．

Answer 1

分析 S_n=2a_n-n，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，化为：a_n+1=2（a_n-1+1），n=1时，a₁=2a₁-1，解得a₁．利用等比数列的通项公式可得a_n=2ⁿ-1，于是$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$．利用裂项求和方法即可得出．

解答 解：∵S_n=2a_n-n，∴n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-n-[2a_n-1-（n-1）]，∴a_n=2a_n-1+1，化为：a_n+1=2（a_n-1+1），
n=1时，a₁=2a₁-1，解得a₁=1．
∴数列{a_n+1}是等比数列，首项为2，公比为2．
∴a_n+1=2ⁿ，即a_n=2ⁿ-1，
∴$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$．
∴$\frac{2}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{4}{a{{\;}_{2}a}_{3}}$+$\frac{8}{{a}_{3}{a}_{4}}$+$\frac{16}{{a}_{4}{a}_{5}}$=$（\frac{1}{2-1}-\frac{1}{{2}^{2}-1}）$+$（\frac{1}{{2}^{2}-1}-\frac{1}{{2}^{3}-1}）$+…+$（\frac{1}{{2}^{4}-1}-\frac{1}{{2}^{5}-1}）$=1-$\frac{1}{{2}^{5}-1}$=$\frac{30}{31}$．
故答案为：$\frac{30}{31}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其性质、数列递推关系、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．