Question

3．已知f（x）=cosx（cosx-3）+sinx（sinx-3）．
（1）若x∈[2π，3π]，求f（x）的单调递增区间；
（2）若x∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$）且f（x）=-1，求tan2x的值．

Answer 1

分析 （1）化简函数f（x）的解析式，再求f（x）在给定范围内的单调增区间；
（2）根据f（x）=-1，得到sinx+cosx的值，两边平方求得sin2x的值，再求cos2x以及tan2x的值．

解答 解：（1）f（x）=cosx（cosx-3）+sinx（sinx-3）
=cos²x-3cosx+sin²x-3sinx
=1-3（sinx+cosx）
=-3$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）+1；
令$\frac{π}{2}$+2kπ≤x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得$\frac{π}{4}$+2kπ≤x≤$\frac{5π}{4}$+2kπ，k∈Z，
又x∈[2π，3π]，令k=1，得$\frac{9π}{4}$≤x≤$\frac{13π}{4}$，
取x∈[$\frac{9π}{4}$，3π]，
∴f（x）的单调递增区间为[$\frac{9π}{4}$，3π]；
（2）由（1）知，f（x）=1-3（sinx+cosx）=-1，
∴sinx+cosx=$\frac{2}{3}$，
∴1+2sinxcosx=$\frac{4}{9}$，
解得sin2x=-$\frac{5}{9}$；
又x∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$），∴2x∈（π，$\frac{3π}{2}$），
∴cos2x=-$\sqrt{1{-sin}^{2}2x}$=-$\sqrt{1{-（-\frac{5}{9}）}^{2}}$=-$\frac{2\sqrt{14}}{9}$，
∴tan2x=$\frac{sin2x}{cos2x}$=$\frac{-\frac{5}{9}}{-\frac{2\sqrt{14}}{9}}$=$\frac{5\sqrt{14}}{28}$．

点评 本题重点考查三角公式、辅助角公式、三角恒等变换公式等知识，属于中档题．