Question

13．已知公差不为0的等差数列{a_n}，它的前n项和是S_n，$a_2^2={a_1}{a_5}$，a₃=5，则$\frac{{{S_n}+49}}{{{a_n}+1}}$取最小值时n=（　　）

• A． 6
• B． 7
• C． 8
• D． 9

Answer 1

分析 利用等差数列通项公式列出方程组，求出首项和公差，从而求出a_n，S_n，利用基本不等式能求出$\frac{{{S_n}+49}}{{{a_n}+1}}$取最小值时n的值．

解答 解：∵公差不为0的等差数列{a_n}，它的前n项和是S_n，$a_2^2={a_1}{a_5}$，a₃=5，
∴a₃=a₁+2d=5，且（a₁+d）²=a₁（a₁+4d），
由d≠0，解得a₁=1，d=2，
∴a_n=2n-1，∴${S_n}=\frac{{（{a_1}+{a_n}）n}}{2}={n^2}$，
∴$\frac{{{S_n}+49}}{{{a_n}+1}}=\frac{{{n^2}+49}}{2n}=\frac{1}{2}（n+\frac{49}{n}）≥\frac{1}{2}×2\sqrt{n×\frac{49}{n}}=7$，
∴当n=7的取等号，
故选：B．

点评 本题考查等差数列关于前n项和与通项公式的代数式取最小值时项数n的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．