Question

5．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，点E、F分别是AB、AD的中点，则$\overrightarrow{ED}•\overrightarrow{FC}$等于（　　）

• A． $\frac{1}{8}$
• B． $-\frac{1}{8}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{8}$
• D． $-\frac{{\sqrt{3}}}{8}$

Answer 1

分析 建立空间坐标系，求出各向量坐标，即可得出答案．

解答 解：由题意可知棱锥A-BCD为正四面体，
以底面BCD的中心O为原点建立空间直角坐标系，如图所示：
则C（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0，0），B（$\frac{\sqrt{3}}{6}$，-$\frac{1}{2}$，0），D（$\frac{\sqrt{3}}{6}$，$\frac{1}{2}$，0），A（0，0，$\frac{\sqrt{6}}{3}$），
∵E，F是AB，AD的中点，
∴E（$\frac{\sqrt{3}}{12}$，-$\frac{1}{4}$，$\frac{\sqrt{6}}{6}$），F（$\frac{\sqrt{3}}{12}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{\sqrt{6}}{6}$），
∴$\overrightarrow{ED}$=（$\frac{\sqrt{3}}{12}$，$\frac{3}{4}$，-$\frac{\sqrt{6}}{6}$），$\overrightarrow{FC}$=（-$\frac{5\sqrt{3}}{12}$，-$\frac{1}{4}$，-$\frac{\sqrt{6}}{6}$），
∴$\overrightarrow{ED}•\overrightarrow{CF}$=$\frac{\sqrt{3}}{12}$•（-$\frac{5\sqrt{3}}{12}$）+$\frac{3}{4}$•（-$\frac{1}{4}$）+（-$\frac{\sqrt{6}}{6}$）•（-$\frac{\sqrt{6}}{6}$）=-$\frac{1}{8}$．
故选：B．

点评 本题考查了空间向量的数量积运算，属于中档题．