Question

14．已知函数f（x）=$\frac{alnx}{x}$（a∈R）的图象与直线x-2y=0相切，当函数g（x）=f（f（x））-t恰有一个零点时，实数t的取值范围是{0}．

Answer 1

分析 先利用函数f（x）=$\frac{alnx}{x}$（a∈R）的图象与直线x-2y=0相切，求出a，再作出f（x）的图象，利用当函数g（x）=f（f（x））-t恰有一个零点时，即可实数t的取值范围．

解答 解：由题意，f′（x）=$\frac{a（1-lnx）}{{x}^{2}}$，
取切点（m，n），则n=$\frac{alnm}{m}$，m=2n，
$\frac{a（1-lnm）}{{m}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴m=$\sqrt{e}$，a=e．∴f（x）=$\frac{elnx}{x}$，
f′（x）=$\frac{e（1-lnx）}{{x}^{2}}$，
函数f（x）在（0，e）上单调递增，（e，+∞）上单调递减，
f（1）=0，x→+∞，f（x）→0，
由于f（e）=1，f（1）=0，
∴当函数g（x）=f（f（x））-t恰有一个零点时，实数t的取值范围是{0}，
故答案为：{0}．

点评 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查数形结合的数学思想，属于中档题．