Question

2．四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=AD=$\frac{1}{2}$CD，AB∥CD，∠ADC=90°．
（Ⅰ）在侧棱PC上是否存在一点Q，使BQ∥平面PAD？证明你的结论；
（Ⅱ）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （I） 当Q为侧棱PC中点时，取PD的中点E，连结AE、EQ，推导出四边形ABQE为平行四边形，从而BQ∥AE，由此能证明BQ∥平面PAD．
（Ⅱ）法一：设平面PAD∩平面PBC=l，则BQ∥l，推导出l⊥PD，l⊥PC，则∠DPC就是平面PAD与平面PBC所成锐二面角的平面角，由此能求出平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．
法二：建立空间直角坐标系，设PA=AB=AD=1，CD=2，利用向量法能求出平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．

解答 解：（I） 当Q为侧棱PC中点时，有BQ∥平面PAD．
证明如下：如图，取PD的中点E，连结AE、EQ．
∵Q为PC中点，则EQ为△OCD的中位线，
∴EQ∥CD，且EQ=$\frac{1}{2}$CD．
∵AB∥CD，且AB=$\frac{1}{2}$CD，∴EQ∥AB，且EQ=AB，
∴四边形ABQE为平行四边形，则BQ∥AE．…（4分）
∵BQ?平面PAD，AE?平面PAD，
∴BQ∥平面PAD．  …（6分）
（Ⅱ）解法一：设平面PAD∩平面PBC=l．
∵BQ∥平面PAD，BQ?平面PBC，∴BQ∥l．
∵BQ⊥平面PCD，∴l⊥平面PCD，∴l⊥PD，l⊥PC．
故∠DPC就是平面PAD与平面PBC所成锐二面角的平面角．…（9分）
∵CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD．
设PA=AB=AD=$\frac{1}{2}CD=a$，
则PD=$\sqrt{P{A}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{2}a$，PC=$\sqrt{C{D}^{2}+P{D}^{2}}$=$\sqrt{6}a$，
故cos$∠DPC=\frac{PD}{PC}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．…（12分）
解法二：如图建立空间直角坐标系，设PA=AB=AD=1，CD=2，
则A（0，0，0），B（0，1，0），C（-1，2，0），P（0，0，1），
则$\overrightarrow{PB}$=（0，1，-1），$\overrightarrow{BC}$=（-1，1，0）．
设平面PBC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=y-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=-x+y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，1）．…（9分）
由CD⊥平面PAD，AB∥CD，知AB⊥平面PAD，
∴平面PAD的法向量为$\overrightarrow{AB}=（0，1，0）$．…（10分）
设平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{1•\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．…（11分）
∴平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．…（12分）

点评 本题考查满足线面平行的点的位置的确定与证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．