Question

9．设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n+1=λS_n+1（n∈N*，λ≠-1），且a₁、2a₂、a₃+3成等差数列．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}为等比数列；
（Ⅱ）设b_n=2a_n-1，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）a_n+1=λS_n+1（n∈N*），可得a_n=λS_n-1+1（n≥2），相减可得：a_n+1=（λ+1）a_n（n≥2），λ+1≠0，利用等比数列的通项公式即可得出．
（Ⅱ）由${a_3}={（λ+1）^2}$，且a₁、2a₂、a₃+3成等差数列．可得4（λ+1）=1+（λ+1）²+3，解得λ=1，可得a_n，进而得到b_n．再利用等比数列的求和公式即可得出．

解答 （Ⅰ）证明：∵a_n+1=λS_n+1（n∈N*），∴a_n=λS_n-1+1（n≥2），
∴a_n+1-a_n=λa_n，即a_n+1=（λ+1）a_n（n≥2），λ+1≠0，
又a₁=1，a₂=λS₁+1=λ+1，
∴数列{a_n}是以1为首项，公比为λ+1的等比数列，
（Ⅱ）解：∵${a_3}={（λ+1）^2}$，且a₁、2a₂、a₃+3成等差数列．
∴4（λ+1）=1+（λ+1）²+3，整理得λ²-2λ+1=0，得λ=1，
∴${a_n}={2^{n-1}}$．
∴${b_n}=2{a_n}-1={2^n}-1$，
∴${T_n}=（2-1）+（{2^2}-1）+（{2^3}-1）+…+（{2^n}-1）$，=$\frac{{2（1-{2^n}）}}{1-2}-n$=2ⁿ⁺¹-2-n．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．