Question

3．若函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{alnx+1-a-{b}^{2}，x≥1}\\{a{x}^{2}-2x，x＞1}\end{array}\right.$对任意实数b均恰好有两个零点，则实数a的取值范围是[1，2）．

Answer 1

分析 求出f（x）=0的解，根据零点个数和定义域列不等式组得出a的范围．

解答 解：当x≥1时，令f（x）=0得x=e${\;}^{\frac{a+{b}^{2}-1}{a}}$，
当x＞1时，令f（x）=0得x=0（舍）或x=$\frac{2}{a}$．
∵f（x）恰好有两个零点，∴e${\;}^{\frac{a+{b}^{2}-1}{a}}$≥1对任意实数b恒成立，且$\frac{2}{a}$＞1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a-1}{a}≥0}\\{\frac{2}{a}＞1}\end{array}\right.$，解得1≤a＜2．
故答案为：[1，2）．

点评 本题考查了分段函数的零点，一定要特别注意函数的定义域范围，属于中档题．