Question

11．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O为上底面A₁B₁C₁D₁的中心，则AO与B₁C所成角的余弦值为：$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AO与B₁C所成角的余弦值．

解答 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱长为2，
则A（2，0，0），O（1，1，2），B₁（2，2，2），C（0，2，0），
$\overrightarrow{AO}$=（-1，1，2），$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=（-2，0，-2），
设AO与B₁C所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{{B}_{1}C}|}{|\overrightarrow{AO}|•|\overrightarrow{{B}_{1}C}|}$=$\frac{2}{\sqrt{6}•\sqrt{8}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
∴AO与B₁C所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．