Question

19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2cosC（acosB+bcosA）=c．
（1）求C；
（2）若c=$\sqrt{7}$，a+b=5，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式可得2sinCcosC=sinC，
可得cosC=$\frac{1}{2}$，即可得解C的值．
（2）由已知及余弦定理得a²+b²-ab=7，由a+b=5，得a²+b²+2ab=25，联立解得ab的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）由已知及正弦定理得，2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，
即2cosCsin（A+B）=sinC．
故2sinCcosC=sinC，
可得cosC=$\frac{1}{2}$，
所以C=$\frac{π}{3}$．    …（6分）
（2）由已知及（1）得：在△ABC中，C=$\frac{π}{3}$，$c=\sqrt{7}$，
所以由余弦定理得a²+b²-2abcosC=7．
即${a^2}+{b^2}-2abcos\frac{π}{3}={a^2}+{b^2}-ab=7$，①…（8分）
a+b=5得a²+b²+2ab=25，②
由①②得ab=6，…（10分）
所以$S=\frac{1}{2}absinC=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$．
即△ABC的面积为$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$．，…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．