Question

15．已知函数f（x）=lnx+ax²-ax，其中a∈R．
（1）当a=0时，求函数f（x）在x=1处的切线方程；
（2）若函数f（x）在定义域上有且仅有一个极值点，求实数a的取值范围；
（3）若对任意x∈[1，+∞），f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求出函数的切线的斜率，从而求出切线方程即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调性结合函数的极值点的个数，求出a的范围即可；
（3）通过讨论a的范围，得到函数的单调性，求出函数的最值，从而判断a的范围即可．

解答 解：（1）当a=0，f（x）=lnx则f（1）=0
又${f^'}（x）=\frac{1}{x}$，则切线的斜率k=1，
所以函数f（x）在x=1处的切线方程为y=x-1．              
（2）f（x）=lnx+ax²-ax，x＞0，则${f^'}（x）=\frac{{2a{x^2}-ax+1}}{x}$，
令t（x）=2ax²-ax+1，
①若a=0，则t（x）=2ax²-ax+1=1＞0，
故f'（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，
所以函数f（x）在（0，+∞）上无极值点，
故a=0不符题意，舍去；
②若a＜0，$t（x）=2a{x^2}-ax+1=2a{（{x-\frac{1}{4}}）^2}+1-\frac{1}{8}a$，
该二次函数开口向下，对称轴$x=\frac{1}{4}$，$t（{\frac{1}{4}}）=1-\frac{1}{8}a＞0$，
所以t（x）=0在（0，+∞）上有且仅有一根${x_0}=\frac{{a-\sqrt{{a^2}-8a}}}{4a}$，故f'（x₀）=0，
且当0＜x＜x₀时，t（x）＞0，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，x₀）上单调递增；
当x＞x₀时，t（x）＜0，f'（x）＜0，函数f（x）在（x₀，+∞）上单调递减；
所以a＜0时，函数f（x）在定义域上有且仅有一个极值点${x_0}=\frac{{a-\sqrt{{a^2}-8a}}}{4a}$，符合题意；                                                     
③若a＞0，$t（x）=2a{x^2}-ax+1=2a{（{x-\frac{1}{4}}）^2}+1-\frac{1}{8}a$，该二次函数开口向上，对称轴$x=\frac{1}{4}$．
（ⅰ）若$t（{\frac{1}{4}}）=1-\frac{1}{8}a≥0$，即0＜a≤8，$t（x）≥t（{\frac{1}{4}}）≥0$，
故f'（x）≥0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，
所以函数f（x）在（0，+∞）上无极值点，
故0＜a≤8不符题意，舍去；                                                
（ⅱ）若$t（{\frac{1}{4}}）=1-\frac{1}{8}a＜0$，即a＞8，又t（0）=1＞0，
所以方程t（x）=0在（0，+∞）上有两根${x_1}=\frac{{a-\sqrt{{a^2}-8a}}}{4a}$，${x_2}=\frac{{a+\sqrt{{a^2}-8a}}}{4a}$，
故f'（x₁）=f'（x₂）=0，
且当0＜x＜x₁时，t（x）＞0，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，x₁）上单调递增；
当x₁＜x＜x₂时，t（x）＜0，f'（x）＜0，函数f（x）在（x₁，x₂）上单调递减；
当x＞x₂时，t（x）＞0，f'（x）＞0，函数f（x）在（x₂，+∞）上单调递增；
所以函数f（x）在（0，+∞）上有两个不同的极值点，故a＞8不符题意，舍去，
综上所述，实数a的取值范围是a＜0．                           
（3）由（2）可知，
①当0≤a≤8时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，
所以当x∈[1，+∞）时，f（x）≥f（1）=0，符合题意，
②当a＜0时，t（1）=a+1，
（ⅰ）若t（1）=a+1≤0，即a≤-1，函数f（x）在[1，+∞）上单调递减，
故f（x）≤f（1）=0，不符题意，舍去，
（ⅱ）若t（1）=a+1＞0，即-1＜a＜0，
故函数f（x）在（1，x₀）上单调递增，在（x₀，+∞）上单调递减，
当$x∈（{-\frac{1}{a}\;，\;+∞}）$时，$f（x）=lnx+a{x^2}-ax≤x-1+a{x^2}-ax=a（{x-1}）（{x+\frac{1}{a}}）＜0$
（事实上，令φ（x）=lnx-x+1，x≥1，则$φ'（x）=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}≤0$，
函数φ（x）在[1，+∞）上单调递减，
所以φ（x）≤φ（1）=0，即lnx≤x-1对任意x∈[1，+∞）恒成立．）
所以存在$x∈（{-\frac{1}{a}\;，\;+∞}）$，使得f（x）＜0，故-1＜a＜0不符题意，舍去；
③当a＞8时，t（1）=a+1＞0，函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，
所以当x∈[1，+∞）时，f（x）≥f（1）=0，符合题意，
综上所述，实数a的取值范围是a≥0．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．