Question

在直角坐标平面中，△ABC的两个顶点为 A（0，－1），B（0, 1）平面内两点G、M同时满足① ,  ②= = ③∥     

（1）求顶点C的轨迹E的方程

（2）设P、Q、R、N都在曲线E上 ，定点F的坐标为（, 0） ，已知∥ ,

∥且·= 0.求四边形PRQN面积S的最大值和最小值.

Answer 1

(1) （x≠0）(2) S_max = 2 ， S_min = 。

解析:

（1）设C ( x , y )， ,由①知,

G为△ABC的重心 ，    G(,)  

由②知M是△ABC的外心，M在x轴上

 由③知M（，0），

由  得 

化简整理得：（x≠0 ）

（2）F（，0 ）恰为的右焦点

  设PQ的斜率为k≠0且k≠±，则直线PQ的方程为y = k ( x －)

由

设P(x₁ , y₁) ，Q (x₂ ,y₂ )  则x₁ + x₂ =  ,    x₁·x₂ =           

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则| PQ | = ·

       =  ·

       =  

  RN⊥PQ,把k换成得 | RN

  S =| PQ | · | RN |

      = 

                                  

      =) 

                                 

≥2 ， ≥16

≤ S  < 2 ， (当 k = ±1时取等号) 

又当k不存在或k = 0时S = 2

综上可得  ≤ S ≤ 2

 S_max = 2 ， S_min =  

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