Question

已知函数f（x）=x²+ax+

1

x2

+

a

x

+b（x∈R，且x≠0），若实数a、b使得f（x）=0有实根，则a²+b²的最小值为（　　）

• A、

  4

  5

• B、

  3

  4

• C、1
• D、2

Answer 1

分析：先整理函数方程解析式，设x+

1

x

=t进而可知t的范围，要使f（x）=0有实根需判别式大于等于0且小根小于-2或大根大于2，进而根据韦达定理确定a和b的范围，求得f（t）=t²+at+b-2=0的，根据t的范围确定：±

a2-4b+8

=2t+a≥ta+b+k²-2=0则a²+b²的最小值即为原点到该直线的距离的平方，进而根据d（t）的范围求得a²+b²的最小值．

解答：解：f(x)=x2+ax+

1

x2

+

a

x

+b=（x+

1

x

）2+a（x+

1

x

）+b-2
设x+

1

x

=t，则t≥2或t≤-2
则有f（t）=t²+at+b-2
∵t²+at+b-2=0有实根，
∴△=a²-4（b-2）≥0，且小根小于-2或大根大于2
∴|a|≥4或|a|≤4且b≤6
f（t）=t²+at+b-2=0的解为t=-

1

2

（a±

a2-4b+8

），则|t|≥2．
将此方程作为关于a、b的方程，化简得：±

a2-4b+8

=2t+a≥ta+b+t²-2=0
则a²+b²的最小值即为原点到该直线的距离的平方，
得d（t）=

|t2 -2|

t2+1

≥d²（t）=t²-5+

9

t2+1

≥d²（t）min=

4

5

，当|t|=2时，等号成立．
故选A

点评：本题主要考查了方程与函数的综合运用．解题的关键利用了数形结合的方法，把a²+b²的最小值看做原点到该直线的距离的平方．