Question

1．如图所示，已知在圆锥SO中，底面半径r=1，母线长l=4，M为母线SA上的一个点，且SM=x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A，求绳子最短时，顶点到绳子的最短距离$\frac{4x}{\sqrt{{x}^{2}+16}}$（用x表示）．

Answer 1

分析 算出侧面展开扇形圆心角α=90°，因此将圆锥侧面展开，可得绳子的最短长度为Rt△ASM中斜边AM的长，由此利用勾股定理即可算出f（x）的表达式；由平面几何性质，可得绳子最短时定点S到绳子的最短距离等于Rt△ASM的斜边上的高，利用三角形面积等积变换求解，可得这个最短距离的表达式．

解答 解：∵底面半径r=1，母线长l=4，
∴侧面展开扇形的圆心角α=90°
因此，将圆锥侧面展开成一个扇形，从点M拉一绳子围绕圆锥侧面转到点A，最短距离为Rt△ASM中，斜边AM的长度
∵SM=x，SA=4
∴绳子的最短长度的平方f（x）=AM²=x²+4²=x²+16．
绳子最短时，定点S到绳子的最短距离等于Rt△ASM的斜边上的高，设这个距离等于d，
则d=$\frac{SM•AS}{AM}$=$\frac{4x}{\sqrt{{x}^{2}+16}}$，
故答案为$\frac{4x}{\sqrt{{x}^{2}+16}}$．

点评 本题在圆锥的表面拉一根绳子，求绳子长度的最小值．着重考查了圆锥的侧面展开、勾股定理与三角形面积公式等知识，属于中档题．