Question

16．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），若以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin²θ-4cosθ=0．
（1）求直线l与曲线C的普通方程；
（2）已知直线l与曲线C交于A，B两点，设M（2，0），求|$\frac{1}{|MA|}$-$\frac{1}{|MB|}$|的值．

Answer 1

分析 （1）利用三种方程的转化方法，求直线l与曲线C的普通方程；
（2）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），代入y²=4x，整理可得3t²-8t-32=0，利用参数的几何意义，求|$\frac{1}{|MA|}$-$\frac{1}{|MB|}$|的值．

解答 解：（1）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数，可得普通方程y=$\sqrt{3}$（x-2）；
曲线C的极坐标方程为ρsin²θ-4cosθ=0，直角坐标方程为y²=4x；
（2）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），代入y²=4x，整理可得3t²-8t-32=0，
设A、B对应的参数分别为t₁，t₂，则t₁+t₂=$\frac{8}{3}$，t₁t₂=-$\frac{32}{3}$，
∴|$\frac{1}{|MA|}$-$\frac{1}{|MB|}$|=|$\frac{{t}_{1}+{t}_{2}}{{t}_{1}{t}_{2}}$|=$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查的知识点是圆的极坐标方程，直线的参数方程，直线参数方程中参数的几何意义，难度中档．