Question

7．过抛物线y²=2px（p＞0）的顶点作互相垂直的两条直线分别交抛物线于A、B两点．
（1）求证：直线AB恒过定点；
（2）过原点O作0H垂直于AB，H为垂足，求点H的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）设A（2pt₁²，2pt₁），B（2pt₂²，2pt₂）．由OA⊥OB，利用斜率计算公式可得k_OA•k_OB=-1，得出t₁t₂=-1．
又k_AB=$\frac{1}{{t}_{1}+{t}_{2}}$，即可得出直线AB的方程，利用直线系即可得出．
（2）确定点H的轨迹是以OM为直径的圆（不含原点O），即可求点H的轨迹方程．

解答 （1）证明：设A（2pt₁²，2pt₁），B（2pt₂²，2pt₂）．
由OA⊥OB，得$\frac{2p{t}_{1}}{2p{{t}_{1}}^{2}}$•$\frac{2p{t}_{2}}{2p{{t}_{2}}^{2}}$=-1，得出t₁t₂=-1．
∴k_AB=$\frac{1}{{t}_{1}+{t}_{2}}$．
得直线AB的方程：y-2pt₁=$\frac{1}{{t}_{1}+{t}_{2}}$（x-2pt₁²）．
即x-（t₁+t₂）y-2p=0．
令y=0，解得x=2p．
∴直线AB恒过定点（2p，0）．
（2）解：∵直线AB恒过定点M（2p，0），过原点O作0H垂直于AB，H为垂足，
∴点H的轨迹是以OM为直径的圆（不含原点O），
∴点H的轨迹方程为（x-p）²+y²=p²（x≠0）．

点评 熟练掌握抛物线的性质、斜率计算公式、直线方程、直线系等是解题的关键．