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    已知数列是首项为，公比的等比数列. 设

    ，数列满足.

    （Ⅰ）求证：数列成等差数列；

    （Ⅱ）求数列的前项和；

    （Ⅲ）若对一切正整数恒成立，求实数的取值范围.

     

    【答案】

    （Ⅰ）见解析.（Ⅱ） . 

    （Ⅲ）或.

    【解析】(I)先根据条件求出,然后可求出,再利用等差数列的定义证得为等差数列.

    (II)由于,所以应采用错位相减的方法求和．

    (III)先根据讨论研究{Cn}的单调性．从而求出{Cn}的最大值，然后让，再解关于m的不等式求出m的取值范围．

    （Ⅰ）由已知可得，，

         

    为等差数列，其中.          ------- 4分

    （Ⅱ）

           ①            ②

    ①   - ② 得

     . 

    （Ⅲ）

    当时，，当时，

    .

    若对一切正整数恒成立，则即可

    ，即或.

     

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