Question

【题目】已知函数

（Ⅰ）若函数的图像在点处的切线与直线平行，求实数的值；

（Ⅱ）讨论函数的单调性；

（Ⅲ）若时，在定义域内总有成立，试求实数的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）当时，函数在单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减；

当时，函数在上单调递增，在上单调递减.（Ⅲ）

【解析】试题分析：

(Ⅰ)结合导函数与原函数切线的关系可得；

(Ⅱ)结合导函数的性质分类讨论有当时，函数在单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减；

当时，函数在上单调递增，在上单调递减.

(Ⅲ)原问题等价于恒成立，构造函数，结合导函数研究函数的最小值可得实数的最大值为

试题解析：

（Ⅰ）易得，且

由题意，得，解得，

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，

①当时， ， 函数在单调递减，

②当时，由，得；

由，得或

函数在上单调递增，在上单调递减.

③当时，同理，得

函数在上单调递增，在上单调递减，

综上，当时，函数在单调递减；

当时，函数在上单调递增，在上单调递减；

当时，函数在上单调递增，在上单调递减.

（Ⅲ）当时，由恒成立，

即恒成立，

即恒成立，

令，则只需

又，令，得，

当时， ，此时，函数在上单调递减；

当时， ，此时，函数在上单调递增，

当时，

故所求实数的最大值为