【题目】设函数f(x)=|x﹣a|.
(1)当a=2时,解不等式f(x)≥7﹣|x﹣1|;
(2)若f(x)≤1的解集为[0,2], =a(m>0,n>0),求证:m+4n≥2 +3.
【答案】
(1)
解:当a=2时,f(x)=|x﹣2|,
则不等式f(x)≥7﹣|x﹣1|等价为|x﹣2|≥7﹣|x﹣1|,
即|x﹣2|+|x﹣1|≥7,
当x≥2时,不等式等价为x﹣2+x﹣1≥7,即2x≥10,即x≥5,此时x≥5;
当1<x<2时,不等式等价为2﹣x+x﹣1≥7,即1≥7,此时不等式不成立,此时无解,
当x≤1时,不等式等价为﹣x+2﹣x+1≥7,则2x≤﹣4,得x≤﹣2,此时x≤﹣2,
综上不等式的解为x≥5或x≤﹣2,即不等式的解集为(﹣∞,﹣2]∪[5,+∞)
(2)
解:若f(x)≤1的解集为[0,2],
由|x﹣a|≤1得﹣1+a≤x≤1+a.
即 得a=1,
即 =a=1,(m>0,n>0),
则m+4n=(m+4n)( )=1+2+ ≥3+2 =2 +3.
当且仅当 ,即m2=8n2时取等号,
故m+4n≥2 +3成立
【解析】(1)利用绝对值的应用表示成分段函数形式,解不等式即可.(2)根据不等式的解集求出a=1,利用1的代换结合基本不等式进行证明即可.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用基本不等式的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握基本不等式:,(当且仅当时取到等号);变形公式:.
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【题目】关于函数的对称性有如下结论:对于给定的函数,如果对于任意的都有成立为常数),则函数关于点对称.
(1)用题设中的结论证明:函数关于点;
(2)若函数既关于点对称,又关于点对称,且当时,,求:①的值;
②当时,的表达式.
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【题目】已知某台风中心位于海港城市东偏北的150公里外,以每小时公里的速度向正西方向快速移动,2.5小时后到达距海港城市西偏北的200公里处,若,则风速的值为_____公里/小时
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【题目】如图,抛物线: 与椭圆: 在第一象限的交点为, 为坐标原点, 为椭圆的右顶点, 的面积为.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)过点作直线交于、 两点,射线、分别交于、两点,记和的面积分别为和,问是否存在直线,使得?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】. (12分)如图所示,函数的一段图象过点.
(1)求函数的表达式;
(2)将函数的图象向右平移个单位,得函数的图象,求函数的最大值,并求此时自变量的取值集合.
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【题目】给出下列命题:
①直线l的方向向量为=(1,﹣1,2),直线m的方向向量=(2,1,﹣),则l与m垂直;
②直线l的方向向量=(0,1,﹣1),平面α的法向量=(1,﹣1,﹣1),则l⊥α;
③平面α、β的法向量分别为=(0,1,3),=(1,0,2),则α∥β;
④平面α经过三点A(1,0,﹣1),B(0,1,0),C(﹣1,2,0),向量=(1,u,t)是平面α的法向量,则u+t=1.
其中真命题的是______.(把你认为正确命题的序号都填上)
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