Question

若矩阵

a1 a2 a3 a4 b1 b2 b3 b4

满足下列条件：①每行中的四个数所构成的集合均为{1，2，3，4}；②四列中至少有两列的上下两数是相同的．则这样的不同矩阵的个数为（　　）

• A、48
• B、72
• C、168
• D、312

Answer 1

考点：几种特殊的矩阵变换,矩阵变换的性质

专题：计算题,矩阵和变换

分析：分类讨论，四列中有且只有两列的上下两数是相同，根据分步计数原理，先从集合{1，2，3，4}中选取2个数，再将它们插在矩阵四列的某2个位置，最后将剩余的两个数插在余下的2个位置；四列中有四列的上下两数是相同，即可得出结论．

解答： 解：四列中有且只有两列的上下两数是相同，按以下步骤进行排列
①从集合{1，2，3，4}中选取2个数，总共有C₄²=6种方法；
②将选取的两个数插在第一列、第二列、第三列或第四列的2个位置，
因为上下对应的数字相同，所以总共有A₄²=12种方法；
③将剩余的两个数插在余下的2个位置，共2种方法
综上，可得满足条件的不同排列共有C₄²A₄²×2=144个
四列中有四列的上下两数是相同有A₄⁴=24个，
所以共有144+24=168个
故选：C

点评：本题给出2行、4列的矩阵，求满足条件的不同矩阵的个数，着重考查了排列与组合的计算方法和矩阵基本概念等知识，属于基础题．