Question

12．当x→1时，k（1-x²）与1-$\root{3}{x}$是等价无穷小，其中的常数k应如何选择？

Answer 1

分析 先根据k（1-x²）与1-$\root{3}{x}$是等价无穷小得出：$\underset{lim}{x→1}$$\frac{k（1-x^2）}{1-\root{3}{x}}$=1，再对该式求极限，进而求出k的值．

解答 解：∵x→1时，k（1-x²）与1-$\root{3}{x}$是等价无穷小，
∴$\underset{lim}{x→1}$$\frac{k（1-x^2）}{1-\root{3}{x}}$=1，其中，
分子=k（1-x²）=k（1-x）（1+x），
分母=1-$\root{3}{x}$=$\frac{1-x}{1+\root{3}{x}+\root{3}{x^2}}$，
因此，$\underset{lim}{x→1}$$\frac{k（1-x^2）}{1-\root{3}{x}}$=$\underset{lim}{x→1}$[k（1+x）（1+$\root{3}{x}$+$\root{3}{x^2}$）]=6k=1，
解得k=$\frac{1}{6}$，
故当k=$\frac{1}{6}$，x→1时，k（1-x²）与1-$\root{3}{x}$是等价无穷小．

点评 本题主要考查了运用极限判断两个量的“等价无穷小”，用到因式分解，消除零因子，属于中档题．