Question

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量

a

=(-1，2)，又点A（8，0），B（n，t），C（ksinθ，t）．
（1）若

AB

⊥

a

，且|

AB

|=

5

|

OA

|，求向量

OB

．
（2）若向量

AC

与向量

a

共线，常数k＞0，当f（θ）=tsinθ取最大值4时，求

OA

•

OC

．

Answer 1

分析：（1）利用向量垂直的坐标表示及向量模的坐标表示，列出关于n，t的方程组，并解即可．
（2）向量

AC

与向量

a

共线，得出f（θ）=tsinθ=（-2ksinθ+16）sinθ，根据最大值4，求出k或θ，求

OA

•

OC

．

解答：解：（1）

AB

=(n-8，t)，∵

AB

⊥

a

，∴8-n+2t=0
又|

AB

|=

5

|

OA

|，∴（n-8）²+t²=5×64得t=±8∴

OB

=(24，8)或（-8，-8）
（2）

AC

=(ksinθ-8，t)，
因为向量

AC

与向量

a

共线，
∴t=-2ksinθ+16，f（θ）=tsinθ=（-2ksinθ+16）sinθ=-2k(sinθ-

4

k

)2+

32

k

①当k＞4时，0＜

4

k

＜1∴sinθ=

4

k

时，tsinθ取最大值为

32

k

，
由

32

k

=4，得k=8，此时θ=

π

6

，

OC

=(4，8)
∴

OA

•

OC

=(8，0)•(4，8)=32
②当0＜k＜4时，

4

k

＞1，
∴sinθ=1时，tsinθ取最大值为-2k+16，
由-2k+16=4，得k=6，（舍去）
综上所述，∴

OA

•

OC

=32

点评：本题考查向量共线、垂直的坐标表示、向量的模的计算．函数最值求解，分类讨论、计算等思想方法和能力．