Question

己知向量a=(2sin

x

2

，1-

2

cos

x

2

)，b=(cos

x

2

，1+

2

cos

x

2

)，函数f(x)=log

1

2

（a•b）．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域和值域；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）首先要对所给的函数式进行整理，根据两个向量的数量积，得到有关三角函数的式子，变成最简形式，求出函数的定义域和值域，定义域是对于对数的真数的范围要求．
（2）本题是一个复合函数的单调性问题，解题依据是同增异减，因为外层函数是一个减函数，所以内层函数的单调性同整个函数的单调性相反．

解答：解：（Ⅰ）∵

a

•

b

=2sin

x

2

cos

x

2

+(1-

2

cos

x

2

)(1+

2

cos

x

2

)=sinx+1-2cos2

x

2

=sinx-cosx=

2

sin(x-

π

4

)．
由sin(x-

π

4

)＞0，
得2kπ＜x-

π

4

＜2kπ+π，
即2kπ+

π

4

＜x＜2kπ+

5π

4

，k∈Z．
∴f（x）的定义域是(2kπ+

π

4

，2kπ+

5π

4

)，k∈Z．
∵0＜

2

sin(x-

π

4

)≤

2

，则f(x)≥log

1

2

2

=-

1

2

，
∴f（x）的值域是[-

1

2

，+∞)．
（Ⅱ）由题设f(x)=log

1

2

2

sin(x-

π

4

)．
若f（x）为增函数，则y=

2

sin(x-

π

4

)为减函数，
∴2kπ+

π

2

≤x-

π

4

＜2kπ+π，
即2kπ+

3π

4

≤x＜2kπ+

5π

4

，
∴f（x）的递增区间是[2kπ+

3π

4

，2kπ+

5π

4

)，k∈Z．
若f（x）为减函数，则y=

2

sin(x-

π

4

)为增函数，
∴2kπ＜x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，即2kπ+

π

4

＜x≤2kπ+

3π

4

，
∴f（x）的递减区间是(2kπ+

π

4

，2kπ+

3π

4

]，k∈Z．

点评：这是一种可以作为高考题出现的题目，把向量同三角函数结合起来，以向量为载体，题目中还考到复合函数的单调性，解题时容易出错，这是一道中档题，在高考题目中的地位较高．