Question

已知函数f（x）=e^x（ax+b），曲线y=f（x）的经过点P（0，2），且在点P处的切线为l：y=4x+2．
（Ⅰ）求常数a，b的值；
（Ⅱ）证明：f（x）≥4x+2；
（Ⅲ）是否存在常数k，使得当x∈[-2，-1]时，f（x）≥k（4x+2）恒成立？若存在，求常数k的取值范围；若不存在，简要说明理由．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由已知条件得

f(0)=b=2 f′(0)=b+a=4

，由此能求出常数a，b的值．
（Ⅱ）记g（x）=f（x）-（4x+2）=2e^x（x+1）-2（2x+1），则g′（x）=2e^x（x+2）-4，当x=0时，g′（x）=0，设t（x）=2e^x（x+2）-4，由此利用导数性质能证明f（x）≥4x+2．
（Ⅲ）x∈[-2，-1]时，f（x）≥k（4x+2）恒成立，当且仅当k≥

f(x)

4x+2

=

ex(x+1)

2x+1

，记h（x）=

ex(x+1)

2x+1

，x∈[-2，-1]，由此利用导数性质能求出常数k的取值范围．

解答： （Ⅰ）解：∵f（x）=e^x（ax+b），
∴f′（x）=e^x（ax+b）+ae^x，
∵曲线y=f（x）的经过点P（0，2），且在点P处的切线为l：y=4x+2，
∴

f(0)=b=2 f′(0)=b+a=4

，
解得a=b=2．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知f（x）=e^x（2x+2），
记g（x）=f（x）-（4x+2）=2e^x（x+1）-2（2x+1），
则g′（x）=2e^x（x+2）-4，
当x=0时，g′（x）=0，设t（x）=2e^x（x+2）-4，
则t′（x）=2e^x（x+3），
当x＞-3时，t′（x）＞0，g′（x）单调递增，
当x＜-3时，t′（x）＜0，g′（x）单调递减，
显然当x＜-2时，g′（x）＜0，∴当x＞0时，g′（x）＞0，
当x＜0时，g′（x）＜0，∴g（x）≥g（0）=0，
当且仅当x=0时等号成立，
∴f（x）≥4x+2．
（Ⅲ）解：x∈[-2，-1]时，4x+2＜0，
∴f（x）≥k（4x+2）恒成立，
当且仅当k≥

f(x)

4x+2

=

ex(x+1)

2x+1

，
记h（x）=

ex(x+1)

2x+1

，x∈[-2，-1]，
h′(x)=

ex(2x2+3x)

(2x+1)2

，
由h′（x）=0，得x=0（舍），x=-

3

2

，
当-2≤x＜-

3

2

时，h′（x）＞0，
∴h（x）=

ex(x+1)

2x+1

在区间[-2，-1]上的最大值为h（-

3

2

）=

1

4

e-

3

2

，
∴常数k的取值范围是[

1

4

e-

2

3

，+∞）．

点评：本题考查常数的值的求法，考查不等式的证明，考查常数的取值范围的求法，解题时要注意构造法和导数性质的合理运用．