Question

如图，在平面直角坐标系中xOy中，以轴Ox为始边做两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A．B两点，已知A，B的纵坐标分别为

2

10

，

2 5

5

．
（1）求cos（α+β）；
（2）求α+2β的值．

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数,任意角的三角函数的定义

专题：三角函数的求值

分析：（1）由已知结合三角函数的定义求得α，β的正弦值，再求得余弦，然后利用两角和的余弦得答案；
（2）配角后利用两角和的正弦求得sin（α+2β），结合角的范围求得α+2β的值．

解答： 解：（1）由题意可得，sinα=

2

10

，sinβ=

2 5

5

，
∵α，β为锐角，
∵0°＜α＜30°，0°＜β＜90°，
∴cosα=

1-sin2α

=

1-( 2 10 )2

=

7 2

10

，
cosβ=

1-sin2β

=

1-( 2 5 5 )2

=

5

5

．
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=

7 2

10

×

5

5

-

2

10

×

2 5

5

=

10

10

；
（2）∵0°＜α＜30°，0°＜β＜90°，
∴0°＜α+β＜120°，
又cos（α+β）=

10

10

，∴sin(α+β)=

1-( 10 10 )2

=

3 10

10

．
则sin（α+2β）=sin[（α+β）+β]=sin（α+β）cosβ+cos（α+β）sinβ
=

3 10

10

×

5

5

+

10

10

×

2 5

5

=

2

2

．
∴α+2β=135°．

点评：本题考查了任意角的三角函数的定义，考查了两角和与差的三角函数，是中档题．