Question

4．已知数列{a_n}中，任意相邻两项为坐标的点P（a_n，a_n+1）均在直线y=2x上，数列{b_n}为等差数列，且满足b₁+b₃=4，b₆=6，a₁=2b₁
（Ⅰ）求证数列{a_n}是等比数列，并求出它的通项公式
（Ⅱ）若c_n=-a_nb_n，S_n=c₁+c₂+…+c_n，求S_n的值．

Answer 1

分析 （I）结合题中所给条件可求公差d，首项b₁，由题意可得a_n+1=2a_n，即数列a_n为等比数列，代入等比数列的通项可求a_n．
（II）由（I）可知数列a_nb_n分别为等差、等比数列，对数列c_n求和用错位相减．

解答 解：（Ⅰ）数列{b_n}为等差数列，且满足b₁+b₃=4，b₆=6，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}+{b}_{1}+2d=4}\\{{b}_{1}+5d=6}\end{array}\right.$，
解得b₁=1，d=1，
∴b_n=n，
∵点（a_n，a_n+1）在直线y=2x上，∴a_n+1=2a_n，数列{a_n}为等比数列，
又a₁=2b₁=2，
∴a_n=2ⁿ．
（Ⅱ）c_n=-a_nb_n=-n•2ⁿ
∵S_n=c₁+c₂+…+c_n，
∴-S_n=1•2+2•2²+…+n•2ⁿ①
-2S_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹②
①-②得：S_n=2+2²+…+•2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2．

点评 本题主要考查了等差数列及等比数列的通项公式、定义，属于对基本概念、基本公式的考查，还考查了求和方法的乘公比错位相减求和，属于中档题．