Question

18．已知|$\overrightarrow a$|=1，|$\overrightarrow b$|=$\sqrt{3}$，$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$=（$\sqrt{3}$，1），
（1）求|$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$|的值；
（2）求向量$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$与向量$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$ 的夹角．

Answer 1

分析 （1）利用已知，将$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$平方展开得到$\overrightarrow a•\overrightarrow b$=0，只要求|$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$|的平方，再开方求值；
（2）结合（1），利用数量积公式，可求向量的夹角．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$=（$\sqrt{3}$，1），∴|$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$|=2，∴${\overrightarrow a^2}+2\overrightarrow a•\overrightarrow b+{\overrightarrow b^2}=4$，…（4分）
∵|$\overrightarrow a$|=1，|$\overrightarrow b$|=$\sqrt{3}$，∴$\overrightarrow a•\overrightarrow b$=0，…（2分）
∴|$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$|²=${\overrightarrow a^2}-2\overrightarrow a•\overrightarrow b+{\overrightarrow b^2}=4$ 
∴|$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$|=2，…（2分）
（2）设$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$ 与$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$ 的夹角为θ （ 0≤θ≤π ），…（1分）
∴cosθ=$\frac{（\overrightarrow a+\overrightarrow b）（\overrightarrow a-\overrightarrow b）}{|\overrightarrow a+\overrightarrow b|•|\overrightarrow a-\overrightarrow b|}=\frac{{{{\overrightarrow a}^2}-{{\overrightarrow b}^2}}}{|\overrightarrow a+\overrightarrow b|•|\overrightarrow a-\overrightarrow b|}=\frac{1-3}{2×2}=-\frac{1}{2}$ …（3分）
∵0≤θ≤π，∴θ=$\frac{2π}{3}$ 
∴$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$ 与$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$ 的夹角$\frac{2π}{3}$．         …（2分）

点评 本题考查了向量的平方与其哦的平方相等、数量积公式的运用求向量夹角．