Question

6．在△ABC中，已知cosA=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，cosB=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
（1）求cosC的值；
（2）若$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=-6，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由cosA，cosB的值，可求sinA，sinB，利用两角和的余弦函数公式即可求cosC=-cos（A+B）的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知sinC=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，利用CA•CB=abcosC=-$\frac{\sqrt{3}}{3}•ab$=-6，可解得ab=6$\sqrt{3}$，利用三角形面积公式即可得解．

解答 解：（Ⅰ）由cosA=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，cosB=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，得sinA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，sinB=$\frac{1}{3}$．
∴cosC=-cos（A+B）=sinAsinB-cosAcosB=$\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{1}{3}-\frac{\sqrt{6}}{3}×\frac{2\sqrt{2}}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$．…（5分）
（Ⅱ）设角A，B，C的对边分别为a，b，c，由（Ⅰ）知sinC=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
由 CA•CB=abcosC=-$\frac{\sqrt{3}}{3}•ab$=-6，
∴ab=6$\sqrt{3}$，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}×6\sqrt{3}×\frac{\sqrt{6}}{3}$=3$\sqrt{2}$．…（10分）

点评 本题主要考查了同角三角函数关系式，两角和的余弦函数公式，三角形面积公式，平面向量及其应用，属于基本知识的考查．