Question

2．设等差数列{a_n}的前n项和S_n=n²-2n （n∈N^*），各项均为正数的等比数列{b_n}中，b₁=a₂，b₃=a₆．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}满足c_n=$\frac{1}{{{a_{n+1}}{a_{n+2}}}}$，T_n为数列{c_n}的前n项和．问是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用n=1时，a₁=S₁，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，可得a_n．再利用等比数列的通项公式可得b_n．
（2）利用“裂项求和”、等比数列的通项公式、不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）n=1时，a₁=S₁=-1．
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n-3．  
上式对n=1也适合，
∴a_n=2n-3（n∈N^*）． 
则b₁=a₂=1，b₃=a₆=9，
∵b_n＞0，∴b₂=3，公比q=3，
∴b_n=3^n-1．
（2）∵${c_n}=\frac{1}{{{a_{n+1}}{a_{n+2}}}}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴${T_n}=\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）=\frac{n}{2n+1}$．
则${T_1}=\frac{1}{3}$，${T_m}=\frac{m}{2m+1}$，${T_n}=\frac{n}{2n+1}$．
设T₁，T_m，T_n成等比数列，
则${（\frac{m}{2m+1}）^2}=\frac{1}{3}•\frac{n}{2n+1}$．
∴$n=\frac{{3{m^2}}}{{-2{m^2}+4m+1}}$．  
令n＞0，得2m（m-2）＜1．
∵m是正整数，∴m=2． 
此时n=12，
因此，当且仅当m=2，n=12时，T₁，T_m，T_n成等比数列．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．