Question

15．在数列{a_n}中，已知对于n∈N^*，有a₁+a₂+a₃+…+a_n=2ⁿ-1，则a${\;}_{1}^{2}$+a${\;}_{2}^{2}$+…+a${\;}_{n}^{2}$=（　　）

• A． 4ⁿ-1
• B． $\frac{1}{3}$（4ⁿ-1）
• C． $\frac{1}{3}$（2ⁿ-1）
• D． （2ⁿ-1）²

Answer 1

分析 法1：利用作差法得出a_n²=4 ^n-1，得到数列{a_n²}是以4为公比的等比数列，利用等比数列求和公式计算即可．
法2：利用特殊值法进行验证排除，分别令n=1，n=2进行排除．

解答 解：∵a₁+a₂+…+a_n=2ⁿ-1   ①，
∴a₁+a₂+…+a_n+1+a_n+1=2ⁿ⁺¹-1②，
②-①得a _n+1=2ⁿ
∴a_n²=4 ^n-1，
数列{a_n²}是以4为公比的等比数列，由a₁=2-1=1，得a₁²=1
由等比数列求和公式得a₁²+a₂²+…+a_n²=$\frac{1-{4}^{n}}{1-4}$=$\frac{{4}^{n}-1}{3}$=$\frac{1}{3}$（4ⁿ-1），
法2：技巧性做法：（特殊值验证法）
当n=1时，a₁=2-1=1，则a${\;}_{1}^{2}$=1，
此时A.4ⁿ-1=3，不满足．排除A．
B.$\frac{1}{3}$（4ⁿ-1）=1，满足．
C.$\frac{1}{3}$（2ⁿ-1）=$\frac{1}{3}$不满足，排除C．
D．（2ⁿ-1）²=1，满足．
当n=2时，a₁+a₂=3，则a₂=2，则a${\;}_{1}^{2}$+a${\;}_{2}^{2}$=1+4=5，
此时B.$\frac{1}{3}$（4ⁿ-1）=5，满足．
D．（2ⁿ-1）²=9，不满足，排除D．
故选：B

点评 本题考查了数列通项公式以及求和的计算，利用作差法是解决本题的关键．同时使用特殊值法进行排除是解决本题的关键．此类问题的技巧性方法．