Question

在等腰三角形ABC中内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，已知sinA：sinB=1：2且bcosC+ccosB=10则△ABC的周长等

50

．

Answer 1

分析：首先利用余弦定理，证出bcosC+ccosB=a=10，结合A、B正弦之比得到b=2a=20．而△ABC的等腰三角形，可得c=a=10或c=b=20，根据三角形两边之和大于第三边加以检验，即可得到△ABC的周长．

解答：解：∵由余弦定理，得
bcosC+ccosB=b•

a2+b2-c2

2ab

+c•

a2+c2-b2

2ac

=

(a2+b2-c2)+(a2+c2-b2)

2a

=a
∴根据bcosC+ccosB=10，可得a=10
∵sinA：sinB=1：2，
∴根据正弦定理，得a：b=1：2，可得b=2a=20
∵△ABC的等腰三角形，∴c=a=10或c=b=20
而c=a=10，b=20不满足a+c＞b，舍去
∴a=10，b=c=20可得周长为a+b+c=50
故答案为：50

点评：本题给出△ABC两边之比和其中一边满足的等式，求△ABC的周长，着重考查了利用正余弦定理解三角形、构成三角形的条件等知识点，属于基础题．