Question

【题目】在几何体中，如图，四边形为平行四边形，，平面平面，平面，，.

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）由，得到平面，平面，根据平面平面，由面面平行的性质定理得到，进而得到四边形为平行四边形，再根据平面，得到，由，得到，同理得到，由线面垂直的判定定理得到平面得证.

（2）由（1）可知，直线、、两两垂直.以为坐标原点，以、、为坐标轴建立的空间直角坐标系，设，则，，分别求得平面和平面的一个法向量，代入求解.

（1）证明：由，

可知、、、四点确定平面，、、、四点确定平面.

∵平面平面，且平面平面，

平面平面，

∴，四边形为平行四边形.

同理可得，四边形为平行四边形，四边形为平行四边形.

∵平面，平面，

∴，

而，于是.

由，，

则.

由，平面，平面.

∴平面，而平面，

∴.

（2）由（1）可知，直线、、两两垂直.以为坐标原点，以、、为坐标轴建立的空间直角坐标系.

不妨设，则，.

∴，，，，，

则，，，

设平面的一个法向量为，

则，则，

令，则，，

∴平面的一个法向量为.

设平面的一个法向量为，

则，则，

令，则，，

∴平面的一个法向量为.

∴二面角的余弦值为.