【题目】直四棱柱被平面所截得到如图所示的五面体,,.
(1)求证:∥平面;
(2)若,求二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
(1)利用面面平行的性质定理,可证得线面平行;
(2)以为坐标原点,为轴,为轴,过垂直于的直线为轴,如图建系,求出平面的一个法向量,平面的一个法向量,求出向量夹角的余弦值,即可得到答案;
(1)在直四棱柱中,平面,
∵平面,∴
∵,,∴平面
同理可证平面,
∴平面平面,
∵平面,∴平面
(2)∵平面平面,平面平面,平面平面,∴∥,
∴和与平面所成角相等,即;
∵,∴,∴,
以为坐标原点,为轴,为轴,过垂直于的直线为轴,如图建系,
,,,,
∴,,,
设为平面的一个法向量,则
,即,
令,则
设为平面的一个法向量,则
,即,
令,则,
则,
由图知,二面角为锐角,则二面角的余弦值为.
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【题目】微信运动,是由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号.用户可以通过关注微信运动公众号查看自己每天或每月行走的步数,同时也可以和其他用户进行运动量的或点赞.加入微信运动后,为了让自己的步数能领先于朋友,人们运动的积极性明显增强,下面是某人2018年1月至2018年11月期间每月跑步的平均里程(单位:十公里)的数据,绘制了下面的折线图.
根据折线图,下列结论正确的是( )
A. 月跑步平均里程的中位数为月份对应的里程数
B. 月跑步平均里程逐月增加
C. 月跑步平均里程高峰期大致在、月
D. 月至月的月跑步平均里程相对于月至月,波动性更小,变化比较平稳
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【题目】人们通常以分贝(符号是)为单位来表示声音强度的等级,30~40分贝是较理想的安静环境,超过50分贝就会影响睡眠和休息,70分贝以上会干扰谈话,长期生活在90分贝以上的嗓声环境,会严重影响听力和引起神经衰弱、头疼、血压升高等疾病,如果突然暴露在高达150分贝的噪声环境中,听觉器官会发生急剧外伤,引起鼓膜破裂出血,双耳完全失去听力,为了保护听力,应控制噪声不超过90分贝,一般地,如果强度为的声音对应的等级为,则有,则的声音与的声音强度之比为( )
A.10B.100C.1000D.10000
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【题目】己知椭圆过点,,是两个焦点.以椭圆的上顶点为圆心作半径为的圆,
(1)求椭圆的方程;
(2)存在过原点的直线,与圆分别交于,两点,与椭圆分别交于,两点(点在线段上),使得,求圆半径的取值范围.
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【题目】已知下面四个命题:
①“若,则或”的逆否命题为“若且,则”
②命题:“,若,则”,用反证法证明时应假设或.
③命题存在,使得,则:任意,都有
④若且为假命题,则均为假命题,其中真命题个数为( )
A.1B.2C.3D.4
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【题目】在直角坐标系中,曲线的普通方程为,直线的参数方程为(为参数),其中.以坐标为极点,以轴非负半轴为极轴,建立极坐标系.
(1)求曲线的极坐标方程和直线的普通方程;
(2)设点,的极坐标方程为,直线与的交点分别为,.当为等腰直角三角形时,求直线的方程.
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【题目】已知函数
(1)当x∈[0,π]时,f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围;(参考数据:sin1≈0.84)
(2)当a=1时,数列{an}满足:0<an<1,=f(an),求证:{an}是递减数列.
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